euler

    Leonhard Paul Euler

  Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.¹ Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.² Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.

En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

•La facilidad relativa con que pudimos determinar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes. Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas y exponenciales.

• Ecuación de Cauchy-Euler o ecuación equidimensional Toda ecuación diferencial lineal de la forma donde los coeficientes an,, an-1, . , , , ao son constantes, tiene los nombres de ecuación de Cauchy-Euler, o ecuación equidimensional. La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado k = n, n  1, . . . , 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la diferenciación, dk y/dxk:

     La solución de ecuaciones de orden superior será análoga. Una vez determinada la función Complementaria yn(x) también podemos resolver la ecuación no homogénea  g(x) con el método de variación de parámetros.

•Nota:

     El coeficiente de d2y/dx2 es cero cuando x = O; por consiguiente, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1 se apliquen a la ecuación de Cauchy-Euler, concentraremos nuestra atención en determinar la solución general en el intervalo (0, ). Se pueden obtener las soluciones en el intervalo (-, 0) sustituyendo t = -x en la ecuación diferencial.